LIMIT FUNGSI

Pada bidang matematika, kita akan mengenal apa itu limit fungsi. Walaupun, kita sudah tidak asing lagi dengan istilah limit di dalam kehidupan sehari hari. Jika kita cari dalam KBBI, limit berarti batas, tapal batas. 

Kalimat yang sering kita dengar adalah limit waktunya 5 jam lagi, limit kartu kreditnya 5 juta rupiah, atau kuota internetnya sudah mencapai limit.

Nah, jika kita terapkan dalam bidang matematika, maka kita akan mengenal “ berapa limit fungsi f(x) di x=a  ?”, dengan kata lain, kita ingin mencari tahu nilai fungsi f(x) saat x mendekati a.

Mari kita bahas Bersama. 

Sebagai contoh fungsi berikut. \[f(x) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\]

Ketika ada orang yang bertanya, berapakan nilai fungsi saat x=1 ? Apakah kita bisa menjawabnya ?

Baik, mari kita coba simulasikan.

Ternyata nilai f(x) saat x=1 (x tepat pada 1), maka kita akan mendapatkan 0/0. Disinilah peran dari limit pada bidang matematika, yaitu dengan menggunakan limit fungsi. 

Dengan kata lain, yang kita cari adalah nilai f(x) saat x dekat sekali dengan 1, ingat ya “dekat sekali” akan berbeda dengan kalimat “tepat pada”.  

Baik, mari kita tuliskan dengan definisi limit.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = ?\]

Sudah bisa mendapatkan nilai tersebut ?

\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}\\{\rm{               }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right)\\{\rm{               }} = 2\end{array}\]

Dari hasil tersebut, kita bisa mengatakan bahwa nilai f(x) saat x dekat sekali dengan 1, maka f(x)=2.

Secara umum,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L\]

dapat dibaca, nilai f(x) saat x dekat sekali dengan "a", maka nilai f(x) akan mendekati L.

Limit Kiri dan Limit Kanan

Limit fungsi disuatu titik dapat didekati dari kiri dan dari kanan, sehingga kita menyebutnya limit kiri dan limit kanan. Secara definisi, dapat ditulis sebagai berikut.

1. Limit Kiri

Jika x menuju a dari arah kiri yaitu dari arah bilangan yang lebih kecil dari a, maka disebut dengan limit  kiri, atau dapat ditulis

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = L\]

       2. Limit Kanan

Jika x menuju a dari arah kanan yaitu dari arah bilangan yang lebih besar dari a, maka disebut dengan limit kanan, atau dapat ditulis

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = L\]

Lebih lanjut, suatu fungsi dikatakan memiliki limit pada titik x=a, jika hanya jika limit kiri sama dengan limit kanan. Dengan kata lain,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x)\]

Contoh

Carilah limit kanan dan limit kiri dari fungsi berikut di x=2 dan x=3, dari fungsi berikut.

\[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 5 }&{,x < 2}\\\begin{array}{l}9 - {x^2}\\x - 2\end{array}&\begin{array}{l},2 \le x < 3\\,x \ge 3\end{array}\end{array}} \right.\]

Penyelesaian untuk x=2, yaitu 

\[\begin{array}{l}f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 5 }&{,x < 2}\\\begin{array}{l}9 - {x^2}\\x - 2\end{array}&\begin{array}{l},2 \le x < 3\\,x \ge 3\end{array}\end{array}} \right.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \sqrt 5  = \sqrt 5 \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} 9 - {x^2} = 5\end{array}\]

Apakah limit fungsi di x=2 ada? Karena limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka fungsi tersebut dikatakan tidak memiliki limit untuk x=2.

Bagaimana dengan limit fungsi di x=3 ?

Nah, dengan cara yang sama, coba diselidiki dan tulis hasilnya saja di kolom komentar.

Semoga bermanfaat.

 

 

FUNGSI

Secara definisi, dapat dijelaskan sebagai berikut. Diketahui himpunan A dan himpunan B yang merupakan subset dari himpunan bilangan real, maka fungsi dari A ke B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap elemen dalam himpunan A tepat satu elemen dalam himpunan B. Lambang dari fungsi adalah \[y = f(x)\]

Pada symbol tersebut, x dinamakan peubah bebas dan y disebut peubah tak bebas (karena y bergantung pada nilai x). Selanjutnya, himpunan A disebut daerah asal (domain) fungsi, serta himpunan B adalah kodomain. Sedangkan yang disebut daerah nilai (range) adalah \[f(x) \in B\]

Pada awalnya harus paham mengenai himpunan bilangan real, karena daerah asal, kodomain dan range semuanya merupakan himpunan bagian dari bilangan real, untuk selanjutnya dinamakan dengan fungsi dengan peubah real atau fungsi real.

Penyajian dari suatu fungsi dapat berupa : 

1. Diagram panah 
   Penyajian dalam bentuk diagram panah,  dengan mengkaitkan suatu elemen dari himpunan A ke suatu elemen pada himpunan B.
   
   
   
   
2. Grafik
   Suatu titik yang direpresentasikan dalam bidang kartesius dapat digunakan untuk menuliskan fungsi, yaitu dengan memasangkan setiap titik pada daerah asal ke daerah hasil.
   
   
   
   
3. Aljabar
   Penyajian fungsi secara aljabar adalah penyajian dengan menggunakan rumus matematis. Misalnya adalah \[f(x) = {x^2};L(r) = \pi {r^2};V(r) = \frac{4}{3}\pi {r^3}\]

Uji garis vertical

Kurva di bidang kartesius merepresentasikan suatu fungsi jika dan hanya jika tidak terdapat garis vertikal yang memotong grafik lebih dari satu kali.

Nah, tidak semua grafik itu merupakan fungsi. Untuk memastikan grafik tersebut adalah fungsi , maka dapat di uji dengan membuat garis vertikal yang melewati fungsi tersebut. Jika terdapat 2 titik yang berpotongan dengan garis vertikal, maka grafik tersebut bukan merupakan fungsi.

Grafik di atas merupakan fungsi, karena saat di lakukan uji garis vertikal (hijau) hanya memotong kurva (orange) hanya di satu titik. Sedangkan, gambar dibawah ini bukan merupakan fungsi, karena uji garis vertikal (hijau) mengenai kurva (orange) di 2 titik.

Grafik yang bukan fungsi, dapat diubah menjadi fungsi dengan mengubah atau membatasi nilai y hanya yg positif.

Jenis Fungsi

Terdapat beberapa fungsi yang sering digunakan yaitu

a.      Fungsi Aljabar

b.      Fungsi Transenden

c.      Fungsi Hiperbolik

d.      Fungsi genap dan ganjil

e.      Fungsi Ekplisit dan Fungsi Implisit

f.       Fungsi parameter

g.      Fungsi yang terdefinisi sepotong-sepotong

h.      Fungsi periodic

i.       Fungsi bilangan bulat terbesar

Sudah faham bukan?

Coba sekarang berikan contoh fungsi yang disajikan dalam bentuk aljabar.

Semoga bermanfaat.

SISTEM KOORDINAT

Berikut ini akan dijelaskan mengenai koordinat kartesius dan koordinat kutub, serta hubungan diantara keduanya. 

Koordinat Kartesius

 Titik pada sebuah garis dimensi satu dinyatakan dengan bilangan tunggal. Sedangkan titik-titik pada sebuah bidang pada dimensi dua dapat dinyatakan dengan pasangan suatu bilangan. Kemudian pula, titik pada ruang dimensi tiga dapat dinyatakan dengan tripel suatu bilangan.

Untuk merepresentasikan titik pada suatu bidang dengan pasangan bilangan, mula-mula ditentukan dua garis bersilangan OX dan OY, kemudian ditentukan skala pada masing-masing garis. Titik potong pada kedua garis disebut dengan titik pusat (O).

Garis OX disebut dengan sumbu-x dan garis OY disebut dengan sumbu-y. Serta, dua garis yang bersilangan disebut sumbu koordinat.

Suatu titik, katakanlah titik P yang berada pada bidang kartesius, maka titik P dapat direpresentasikan dengan P(x1,y1). Dalam contoh tersebut, maka x1 disebut dengan absis dan y1 disebut dengan ordinat.

Sumbu-sumbu koordinat memisahkan bidang ke dalam empat daerah yang disebut kuadran. Sehingga, ada 4 kuadran dalam bidang kartesius, dengan kuadran I merupakan pasangan dari (+,+), kuadran II merupakan pasangan (-,+), kuadran III merupakan pasangan (-,-), dan kuadran IV merupakan pasangan (+,-).

Koordinat Polar (Kutub)

Titik yang direpresentasikan pada koordinat kutub dapat dinyatakan dengan informasi yang dibutuhkan yaitu jarak antara titik pusat (O) ke titik P (r) dan sudut θ merupakan sudut yang terbentuk dari arah berlawanan dengan arah jarum jam, yang ditunjukkan pada gambar dibawah ini.

Meskipun r menyatakan suatu jarak, namun jarak tersebut adalah jarak yang berarah, sehingga r bisa negative , jika diambil dari arah yang searah jarum jam.

Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat kutub dapat dijelaskan dengan persamaan berikut.

Dengan menggunakan ilustrasi dari suatu titik P yang diletakkan pada koordinat kartesius dan polar, sebagai berikut.

Sehingga, dapat ditulis hubungan antara koordinat kartesius dan polar adalah :

\[\begin{array}{l}x = r\cos \theta ;\\y = r\sin \theta ;\\{x^2} + {y^2} = {r^2};\\\frac{y}{x} = \tan \theta .\end{array}\]

Sebagai contoh gantilah persamaan dalam koordinat polar berikut menjadi persamaan dalam koordinat kartesius. 

\[r = \frac{7}{{3\cos \theta  + 4\sin \theta }}\]

Penyelesaian :

\[\begin{array}{l}r = \frac{7}{{3\cos \theta  + 4\sin \theta }}\\ \Leftrightarrow r\left( {3\cos \theta  + 4\sin \theta } \right) = 7\\ \Leftrightarrow 3r\cos \theta  + 4r\sin \theta  = 7\\ \Leftrightarrow 3x + 4y = 7\\ \Leftrightarrow y = \frac{{7 - 3x}}{4}\end{array}\]

Oke, sudah paham kan?

Nah, bisa dicoba untuk soal yang sama, jika diketahui koordinat polarnya adalah

\[r = \frac{{12}}{{4\cos \theta  + 2\sin \theta }}\]

Tentukan bentuk persamaan dalam koordinat kartesius.

Semoga bermanfaat.

 

NILAI MUTLAK

 Nilai mutlak pada bilangan real \[x\] , ditulis dengan simbol \[\left| x \right|\] , didefinisikan sebagai 

\(\left| x \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}x&{,x \ge 0}\\{ - x}&{,x < 0}\end{array}} \right.\)

Nilai mutlak akan selalu bernilai positif, mengapa?

Karena, bila kita andaikan simbol \(\left| {} \right|\) sebagai sebuah mesin, maka mesin tersebut akan mengubah apapun inputnya ( positif atau negatif) menjadi output yang positif.

Sebagai contoh, misalkan kita memiliki \(x = 2\) maka tentu saja nilai \[x\] akan berada pada daerah \[x \ge 0\], nah sehingga yang berlaku adalah \[\left| 2 \right| = 2\].

Tetap, misalkan kita memiliki \[x =  - 2\], maka tentu saja nilai \[x\] akan berada pada daerah \[x < 0\], nah sehingga yang berlaku adalah \[\left| { - 2} \right| =  - \left( { - 2} \right) = 2\].

Sampai disini paham ya definisi nilai mutlak?

Dalam penggunaan dari nilai mutlak ini memiliki beberapa interpretasi :

1. \[\left| x \right| = maksimum\left\{ { - x,x} \right\}\]
2. \[\left| x \right| = \sqrt {{x^2}} \]
3. \[\left| x \right| = jarak{\rm{ antara titik x dan 0}}\] , sedangkan \[\left| {x - c} \right| = jarak{\rm{ antara titik x dan c}}\]

Sifat Nilai Mutlak

Untuk setiap bilangan real \[x\] berlaku :

1. \(\left| x \right| \le a,a \ge 0\quad  \leftrightarrow \quad  - a \le x \le a\)
2. \(\left| x \right| \ge a,a \ge 0\quad  \leftrightarrow \quad x \ge a\;\)  atau  \(x \le  - a\)
3. \(\left| x \right| \le \left| y \right|\quad  \leftrightarrow {x^2} \le {y^2}\)
4. \(\left| {\frac{x}{y}} \right| = \frac{{\left| x \right|}}{{\left| y \right|}}\)
5. \(\left| {x + y} \right| \le \left| x \right| + \left| y \right|\)
6. \(\left| {x - y} \right| \ge \left| {\left| x \right| - \left| y \right|} \right|\)

Contoh definisi nilai mutlak pada :

\[\left| {x - 2} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2}&{,x \ge 2}\\{ - (x - 2)}&{,x < 2}\end{array}} \right.\]

Sebagai latihan, coba tentukan definisi dari \[\left| {x - 4} \right|\] tuliskan pada kolom komentar ya.

Serta, bila ada pertanyaan bisa ditulisakan pada kolom komentar.

Semoga bermanfaat.

SISTEM BILANGAN REAL

 

Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian, sehingga memnuhi aksioma tertentu. Dalam penulisannya ditulis dengan simbol  \[\Re \] (baca : R cantik).

Terdapat 3 aksioma yang berlaku dalam system bilangan real, yaitu aksioma lapangan, aksioma urutan, dan aksioma kelengkapan.

Komponen pada Bilangan Real

Pada bilangan real terdapat himpunan-himpunan bilangan yang sering kita pakai, yaitu :

1.      Himpunan bilangan asli, yang biasanya digunakan untuk menghitung banyaknya elemen suatu himpunan. Disimbolkan dengan \[\aleph \] (baca : N cantik), yang berisi \[\aleph  = \{ 1,2,3,...\} \].

2.      Himpunan bilangan prima, yaitu himpunan bilangan asli yang hanya mempunyai 2 faktor yang terdiri dari 1 dan dirinya sendiri. Sehingga daftar elemen himpunan bilangan prima adalah \[\{ 2,3,5,7,...\} \].

3.      Himpunan bilangan komposit, yaitu himpunan bilangan asli yang mempunyai lebih dari 2 faktor.

4.      Himpunan bilangan cacah, yaitu himpunan bialngan asli beserta bilangan nol. Sehingga, daftar elemen himpunan bilangan cacah adalah \[\{ 0,1,2,3,...\} \].

5.      Himpunan bilangan bulat, yaitu himpunan bilangan cacah (himpunan bilangan bulat non negatif) dan himpunan bilangan bulat negatif). Disimbolkan dengan \[\mathbb{Z}\] (baca : Z cantik), yang memiliki elemen adalah \[\mathbb{Z} = \{ ..., - 2, - 1,0,1,2,...\} \]

6.      Himpunan bilangan genap, yaitu himpunan bilangan bulat kelipatan dua. Sehingga, daftar elemen himpunan bilangan genap adalah \[\{ ..., - 4, - 2,0,2,4,...\} \]

7.      Himpunan bilangan ganjil, yaitu himpunan bilangan bulat bukan kelipatan dua, memiliki daftar elemennya adalah \[\{ ..., - 3, - 1,1,3,...\} \]

8.      Himpunan bilangan rasional, yaitu bilangan yang memiliki ciri bentuk desimalnya yang selalu berulang (repeating) , atau bentuk decimal yang berakhir (terminating). Contoh bilangan rasional adalah \[\frac{1}{8} = 0,125;\frac{2}{3} = 0,6666...\]

9.      Himpunan bilangan irasional, yaitu himpunan bilangan yang anggotanya bukan bilangan rasional. Contoh bilangan irasional adalah \[\sqrt 2 ,(2,718281828459045)\]

10.   Himpunan bilangan rasional dan irasional inilah yang yang membentuk himpunan bilangan real.

Berikut ilustrasinya :

Interval

Interval (selang) didefinisikan sebagai himpunan bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan tertentu. Ada dua macam interval, yaitu interval hingga dan interval tak hingga.

Pada interval hingga, himpunan bagian dari himpunan bilang real yang terbatas di bawah dan di atas. Sedangkan interval tak hingga , tidak terbatsa di atas dan di bawah. Berikut ilustrasinya

Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar adalah suatu bentuk yang diperoleh dengan sejumlah hingga operasi aljarbar atas peubah, konstanta, dan parameter. Berikut adalah keterangannya

i.                 Peubah (variable) adalah notasi yang mewakili suatu unsur dalam suatu himpunan

ii.                Kontanta adalah notasu yang mewakili suatu unsur dalam himpunan berunsur satu.

iii.               Parameter adalah notasi yang mewakiki unsur dalam himpunan konstanta.

Misalkan diketahui bentuk aljabar  \[f(x) = {x^2} - 2x + c\] , maka dapat dikatakan bahwa x adalah peubah, (-2) adalah konstanta, dan c adalah parameter.

Apakah sudah paham? 
Jika sudah, coba berikan 1 contoh bentuk aljabar dan berikan keterangan ya.

Semoga bermanfaat.        

HIMPUNAN_2

Pada tulisan ini, akan saya bahas mengenai istilah-istilah yang sering muncul saat kita membahas himpunan. Apa saja itu ?

 

Baik, akan saya jabarkan sebagai berikut.

1.      Elemen

2.      Bukan Elemen

3.      Subset

4.      Himpunan Semesta

 

Pertama, kita bahas mengenai eleman ya. Elemen adalah anggota dari suatu himpunan, yang tentu saja harus mempunyai sifat sesai dengan syarat keanggotaan dari himpunan tersebut. Sebagai contoh nih, misalkan ada himpunan A={1,2,3,4,5}, maka kita bisa mengatakan bahwa \[1 \in A\].

Kedua, kalau misal kita sebut angka 10, apakah itu elemen dari himpunan A. Tentu saja tidak, bukan? Berarti kita bisa mengatakan bahwa \[10 \notin A\]. Bagaimana dengan angka 6? Tentu saja, \[6 \notin A\].

Paham ya?

Sudah pernah mengetahui himpunan bilangan asli itu apa? Yup, bilangan asli atau biasanya disimbolkan dengan \[{\rm N}\] (baca : N cantik). Himpunan bilangan asli adalah 1,2,3,… , atau bisa kita tulis \[{\rm N} = \{ 1,2,3,...\} \], atau bisa ditulis juga dengan \[{\rm N} = \{ x|x{\rm{ bilangan asli\} }}\] (baca :  \[x\] sedemikan sehingga \[x\] adalah bilangan asli).

Ketiga, dari pembahasan di atas kita tahu bahwa himpunan A adalah bagian dari himpunan bilangan asli. Karena elemen-elemen anggota himpunan A terdaftar pada himpunan bilangan asli. Oke, bisa mengambil kesimpulan dari sini?

Subset artinya himpunan bagian, sehingga kita bisa mengatakan bahwa himpunan A subset dari himpunan bilangan asli, atau bisa ditulis \[A \subseteq {\rm N}\].

Kata semesta menurut KBBI artinya adalah seluruh, segenap. Nah, apa itu himpunan semesta?

Himpunan semesta (universal set) adalah himpunan yang memuat setiap himpunan  yang dibicarakan. Sehingga, istilah keempat dapat kita ambil contoh yaitu  \[{\rm N}\] (himpunan bilangan asli) adalah himpunan semesta dari himpunan A.

Sudah paham? cek cek cek,

Sekarang coba buat himpunan yang merupakan subset dari himpunan bilangan asli?

Semoga bermanfaat dan apabila ada pertanyaan silakan tulis dikolom komentar.

Terima kasih.

Himpunan

Dasar dari suatu pembelajaran matematika dimulai dengan mendefinisikan himpunan. Biasanya siswa atau mahasiswa akan diberikan materi awal untuk mengenal matematika dimulai dengan mengenalkan himpunan. Sebenarnya kenapa sih kita perlu belajar mengenai himpunan ?

Karena dengan mengenal himpunan, maka sama saja kita mengenal "kepada siapa", dengan kata lain saat kita mendefinisi himpunan maka kita mengenal objek dari yang kita kenai pekerjaan. Kenapa kita perlu mengenali "objek yang kita kenai pekerjaan" ?

Karena pada ilmu matematika, kita akan mengenal sejumlah himpunan yang memiliki karakteristik sendiri-sendiri. 

Misalkan, himpunan penyelesaian dari  2<x<5 saat yang diminta hasil x adalah himpunan bilangan asli, akan berbeda dengan saat yang diminta hasil x adalah himpunan bilangan prima. Nah, nanti coba kita kerjakan.

Oke, jadi apa itu himpunan? Sudah ada gambaran apa itu himpunan?

Coba kita ingat lagi, pasti sering mendengar himpunan mahasiswa teknik geologi Undip, himpunan mahasiswa matematika Undip, himpunan mahasiswa teknik mesin Undip, himpunan siswa kelas XI IPA 1 di SMA 1 Kudus, dan lain sejenisnya.

Dari contoh di kehidupan sehari-hari, sebenarnya kita tidak asing kok dengan istilah himpunan.

 Tetapi, entah mengapa setelah istilah himpunan itu kita bawa ke dalam pembelajaran matematika, seringkali kita masih bingung dalam memahaminya.

Coba, apa saja yang membentuk istilah himpunan ?

Pertama adalah kumpulan, kedua adalah syarat yang harus ditentukan, dan yang ketiga adalah elemen atau anggota.

Sebagai contoh, himpunan mahasiswa teknik mesin Undip. Coba kita uraikan satu per satu yang membentuk definsi tersebut. 

Pertama, kumpulan atau objeknya adalah mahasiswa. 

Kedua, syaratnya apa agar bisa masuk dalam himpunan tersebut, yaitu mahasiswa yang terdaftar di Undip dan mahasiswa yang tercatat atau diterima menjadi mahasiswa di jurusan teknjk mesin.

Lalu, yang ketiga adalah elemen atau anggota, isinya nama-nama mahasiswa teknik mesin undip.

Dari contoh tersebut, kita mendapatkan definisi himpunan adalah suatu kumpulan yg memiliki syarat keanggotan keanggotan tertentu untuk menjadi anggota atau elemennya.

Sampai disini paham? Cek cek cek, 

1. Coba berikan 1 contoh himpunan ?
2. Coba sebutkan himpunan bilangan asli yang kurang dari 10, apa saja anggotanya? Tulis di kolom komentar ya.

Silakan jika ada yang ingin ditanyakan, juga bisa tulis di kolom komentar. 

Semoga bermanfaat