LIMIT FUNGSI

Pada bidang matematika, kita akan mengenal apa itu limit fungsi. Walaupun, kita sudah tidak asing lagi dengan istilah limit di dalam kehidupan sehari hari. Jika kita cari dalam KBBI, limit berarti batas, tapal batas. 

Kalimat yang sering kita dengar adalah limit waktunya 5 jam lagi, limit kartu kreditnya 5 juta rupiah, atau kuota internetnya sudah mencapai limit.

Nah, jika kita terapkan dalam bidang matematika, maka kita akan mengenal “ berapa limit fungsi f(x) di x=a  ?”, dengan kata lain, kita ingin mencari tahu nilai fungsi f(x) saat x mendekati a.

Mari kita bahas Bersama. 

Sebagai contoh fungsi berikut. \[f(x) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\]

Ketika ada orang yang bertanya, berapakan nilai fungsi saat x=1 ? Apakah kita bisa menjawabnya ?

Baik, mari kita coba simulasikan.

Ternyata nilai f(x) saat x=1 (x tepat pada 1), maka kita akan mendapatkan 0/0. Disinilah peran dari limit pada bidang matematika, yaitu dengan menggunakan limit fungsi. 

Dengan kata lain, yang kita cari adalah nilai f(x) saat x dekat sekali dengan 1, ingat ya “dekat sekali” akan berbeda dengan kalimat “tepat pada”.  

Baik, mari kita tuliskan dengan definisi limit.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = ?\]

Sudah bisa mendapatkan nilai tersebut ?

\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}\\{\rm{               }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right)\\{\rm{               }} = 2\end{array}\]

Dari hasil tersebut, kita bisa mengatakan bahwa nilai f(x) saat x dekat sekali dengan 1, maka f(x)=2.

Secara umum,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L\]

dapat dibaca, nilai f(x) saat x dekat sekali dengan "a", maka nilai f(x) akan mendekati L.

Limit Kiri dan Limit Kanan

Limit fungsi disuatu titik dapat didekati dari kiri dan dari kanan, sehingga kita menyebutnya limit kiri dan limit kanan. Secara definisi, dapat ditulis sebagai berikut.

1. Limit Kiri

Jika x menuju a dari arah kiri yaitu dari arah bilangan yang lebih kecil dari a, maka disebut dengan limit  kiri, atau dapat ditulis

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = L\]

       2. Limit Kanan

Jika x menuju a dari arah kanan yaitu dari arah bilangan yang lebih besar dari a, maka disebut dengan limit kanan, atau dapat ditulis

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = L\]

Lebih lanjut, suatu fungsi dikatakan memiliki limit pada titik x=a, jika hanya jika limit kiri sama dengan limit kanan. Dengan kata lain,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x)\]

Contoh

Carilah limit kanan dan limit kiri dari fungsi berikut di x=2 dan x=3, dari fungsi berikut.

\[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 5 }&{,x < 2}\\\begin{array}{l}9 - {x^2}\\x - 2\end{array}&\begin{array}{l},2 \le x < 3\\,x \ge 3\end{array}\end{array}} \right.\]

Penyelesaian untuk x=2, yaitu 

\[\begin{array}{l}f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 5 }&{,x < 2}\\\begin{array}{l}9 - {x^2}\\x - 2\end{array}&\begin{array}{l},2 \le x < 3\\,x \ge 3\end{array}\end{array}} \right.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \sqrt 5  = \sqrt 5 \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} 9 - {x^2} = 5\end{array}\]

Apakah limit fungsi di x=2 ada? Karena limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka fungsi tersebut dikatakan tidak memiliki limit untuk x=2.

Bagaimana dengan limit fungsi di x=3 ?

Nah, dengan cara yang sama, coba diselidiki dan tulis hasilnya saja di kolom komentar.

Semoga bermanfaat.