TURUNAN

Jikalau ada suatu fungsi, katakanlah \[f(x) = {x^2}\] , maka Anda dapat dengan mudah mengatakan bahwa turunan dari fungsi tersebut adalah \[f'(x) = 2x\] .

Nah, apa sebenarnya "turunan" ini? Jangan sampai kita bisa menghitungnya, tetapi tidak tahu apa yang sedang dihitung.

Petunjuk yang bisa digunakan adalah kita sering menggunakan turunan untuk menghitung laju atau kecepatan.  Coba perhatikan dengan sesama definisi dari turunan sebagai berikut.

1. Definisi Turunan

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval buka yang memuat c. Turunan fungsu f di titik c, ditulis dengan f', didefinisikan sebagai 

\(f'(c) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {c^{}}} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}}\)

atau, dengan memisalkan bahwa x-c=h, dapat ditulis kembali menjadi 

\(f'(c) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(c + h) - f(c)}}{h}\)

nilai turunan pada ruas kiri dijamin ada, jika nilai limit pada ruas kanan pun ada.

Perhatikan definisi di atas, bahwa 

Lingkaran warna biru, menunjukkan perubahan nilai pada variabel bebas (x) yang mendekati nol (perubahan yang sangat kecil).

Lingkaran warna merah, menunjukkan perubahan nilai pada variabel tak bebas (f(x)).

Lingkaran warna hijau, dibagi dengan selisih x dan c.

Dengan demikian, tujuan kita menghitung turunan adalah mencari berapa perubahan variabel tak bebas, saat variabel bebasnya berubah, dimana perubahan variabel bebas dibuat sekecil mungkin hingga mendekati nol.

2. Turunan Kiri dan Turunan Kanan

Suatu fungsi dikatakan terdifferensial / differensiabel di titik x=c, jika dan hanya jika, 

\[f{'_ - }(c) = f{'_ + }(c)\]

 (artinya turunan kanan sama dengan turunan kiri).

Dengan keterangan bahwa :

\[f{'_ - }(c) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ - }} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}} = f{'_ + }(c) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ + }} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}}\]

Apakah setiap fungsi selalu memiliki turunan ? Jawabannya, belum tentu.

Kapan suatu fungsi dikatakan tidak memiliki turunan ?

1.  Bila suatu fungsi mempunyai patahan atau suatu sudut dititik tertenty, maka fungsi itu tidak terdifferensialkan di titik tersebut. Contoh \[f(x) = \left| x \right|\] tidak terdifferensialkan di x=0, karena dapat dilihat pada grafik terjadi patahan di x=0.
2.  Bila suatu fungsi memiliki titik diskontinu di x=a, maka fungsi tersebut tidak terdifferensialkan di titik tersebut (x=a).
3. Bila suatu fungsi memiliki garis singgung tegak, atau gradien garis singgungnya tak hingga yaitu \[f'(a) = \infty \] , maka fungsi tersebut tidak terdifferensialkan di x=a.

Contoh :

Suatu fungsi \[f(x) = \left| {x - 4} \right|,x \in \Re \] , apakah memiliki turunan di x=4 ?

Penyelesaian :

Karena berupa fungsi nilai mutlak, maka perlu mendefinisikan fungsi terlebih dahulu, yaitu :

\[\left| {x - 4} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 4}&{,x \ge 4}\\{ - (x - 4)}&{,x < 4}\end{array}} \right.\]

Sehingga, kita membutuhkan bantuan dari definisi turunan kanan dan turunan kiri dari fungsi tersebut.

Turunan Kiri

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{ - (x - 4) - 0}}{{x - 4}} =  - 1\]

Turunan Kanan

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{(x - 4) - 0}}{{x - 4}} = 1\]

Karena \[f{'_ - }(4) \ne f{'_ + }(4)\] , maka f'(4) tidak ada. Dkl, f(x) tidak terdfifferensialkan di x=4.

Ilustrasi

Perhatikan gambar tersebut, terjadi patahan di x=4, ini merupakan salah satu ciri dari tidak terdifferensialkan pada titik x=4.

Sudah faham?

Coba silakan di cek untuk fungsi \[f(x) = \left| {2x - 1} \right|,x \in \Re \] , apakah memiliki turunan di x=1/2 ?

Silakan sertakan jawaban tersebut pada kolom komentar, serta jika ada pertanyaan bisa dituliskan pada kolom komentar.

Semoga bermanfaat.