PENERAPAN TURUNAN

Pada artikel ini, saya akan membahas mengenai definisi, teorema, dan contoh penerapan turunan dalam kehidupan sehari-hari. Pembahasan mengenai definisi secara matematika dan makna pencarian turunan telah saya bahas pada artikel saya https://ditamatematika.blogspot.com/2020/10/turunan.html.

Konsep turunan banyak sekali digunakan sebagai alat bantu penyelesaian masalah, terutama untuk menyelesaikan masalah optimasi, kecepata, percepatan, dan juga limit fungsi. Nah, untuk dapat menerapkan turunan sebagai bagian dari solusi, maka akan kita bahas beberapa definisi, teorema yang dapat digunakan.

1.  Titik ekstrim fungsi

        Terlebih dahulu ada syarat bahwa suatu fungsi kontinu di daerah asalnya, (definisi kekontinuan, coba cek lagi ya https://www.youtube.com/watch?v=6piFs3oM_u0 ). Nah fungsi yang kontinu ini dapat memuat nilai maksimum, dan / atau nilai minimun yang dikenal sebagai nilai ekstrim.

Definisi 1.1

Diberikan fungsi f yang terdefinisi pada [a,b]

i. Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di \[c \in [a,b]\] bila \[f(c) \ge f(x)\] untuk setiap \[x \in [a,b]\].

ii. Fungsi f dikatakan mencapai minimum mutlak di \[c \in [a,b]\] bila  \[f(c) \le f(x)\]  untuk setiap \[x \in [a,b]\].

Definisi 1.2

Diberikan fungsi f yang terdefinisi pada [a,b]

i. Fungsi f dikatakan mencapai maksimum lokal di \[u \in [a,b]\] bila terdapat \[(c,d) \subset [a,b]\], sehingga untuk  \[u \in [a,b],f(u) \ge f(x),\forall x \in (c,d)\].

ii. Fungsi f dikatakan mencapai minimum lokal di \[u \in [a,b]\] bila terdapat \[(c,d) \subset [a,b]\], sehingga untuk \[u \in [a,b],f(u) \le f(x),\forall x \in (c,d)\].

Ilustrasi untuk Definisi 1.1 dan Definisi 1.2 dengan menggunakan gambar berikut.

Gambar 1

Teorema 1.1

Misalkan f kontinu pada suatu interval terbuka yang memuat c. Jika f terdifferensialkan di c, dan (c,f(c)) titik ektrim, maka f'(c)=0 atau f'(c) tidak ada.

Nah, titik c yang menyebabkan f'(c)=0 atau f'(c) tidak ada disebut dengan titik kritis. Penjelasan di atas sangat bermanfaat untuk memahami bahwa jika fungsi f terdefinisi pada [1,b], maka nilai maksimum atau minimum dari f dapat ditentukan sebagai berikut.

1. Tentukan titik kritisnya, misalkan di x=c.

2.  Tentukan nilai-nilai dari f(a), f(b), dan f(c). Nilai terbesar dari ketiganya adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum.

Teorema 1.2 (Teorema Rolle)

Misalkan fungsi f kontinu pada [a,b] dan terdifferensialkan pada (a,b), serta f(a)=f(b), maka terdapat \[c \in (a,b)\] sehingga f'(c)=0.

Teorema 1.3 (Teorema Nilai Rata-rata)

Misalakn fungsi f kontinu pada [a,b] dan terdifferensialkan pada (a,b), maka terdapat \[c \in (a,b)\] sehingga \[f'(c) = \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}\]

2. Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Definisi 2.1 

Misalkan fungsi f yang terdefinisi pada interval I, maka 

i. Fungsi f dikatakan naik pada I, jika u<v, maka berlaku \[f(u) < f(v),\forall u,v \in I\]

ii. Fungsi f dikatakan turun pada I, jika u<v, maka berlaku \[f(u) > f(v),\forall u,v \in I\]

Teorema 2.1 (Uji Turunan Pertama untuk Kemonotonan Fungsi)

Misalkan f yang terdefinisi pada interval I dan  terdifferensialkan pada setiap titik dalam interval I.

i. Jika berlaku \[f'(x) > 0,\forall x \in I\] , maka f monoton naik pada I.

ii. Jika berlaku \[f'(x) < 0,\forall x \in I\] , maka f monoton turun pada I.

Teorema 2.2 (Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal)

Misalkan f fungsi kontinu pada interval terbuka yang memuat titik c. Jika terdapat suatu \[\delta  > 0\] sehingga :

i. Jika \[f'(x) > 0,\forall x \in (c - \delta ,c)\] dan \[f'(x) < 0,\forall x \in (c,c + \delta )\] , maka f mencapai maksimum lokal di c.

ii. Jika \[f'(x) < 0,\forall x \in (c - \delta ,c)\] dan \[f'(x) > 0,\forall x \in (c,c + \delta )\] , maka f mencapai minimum lokal di c.

Teorema 2.3 (Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal)

Misalkan f fungsi yang terdifferensialkan sampai dengan turunan kedua pada suatu interval buka yang memuat c dan (c,f(c)) titik ekstrem.

i. Jika f''(c)>0, maka f mencapai minimum lokal di c.

ii. Jika f''(c)<0, maka f mencapai maksimum lokal di c.

iii. Jika f''(c)=0, maka uji gagal (tidak ada keputusan). 

3. Titik Belok Fungsi

Definisi 3.1 Misalkan f fungsi yang kontinu pad suatu interval yang memuat c. Fungsi f dikatakan mencapai titik belok di c apabila terdapat perubahan kecekungan pada grafik fungsi di sekitar c.

Sebagai, ilustrasi dapat dilihat sketsa fungsi berikut.

                                 Gambar 2

Nah, pada Gambar 2 merupakan sketsa dari fungsi \[f = {x^3}\],  titik belok dapat diamati terjadi pada x=0, karena saat x<0 dan x>0 terjadi perubahan kecekungan.

Teorema 3.2 

Misalkan f terdifferensialkan pada suatu interval yang memuat c. Jika fungsi f mencapai titik belok di c dan f"(c) ada, maka f"(c)=0. 

Perhatikan pernyataan pada Teorema 3.2 dapat diartikan bahwa :

1. Jika f mencapai titik belok di x=c , maka tentu f"(c)=0.

2. Tetapi kebalikan dari teorema di atas tidak selalu benar, artinya jika f"(c)=0 tidak selalu c merupakan titik belok.

(Silakan dibuktikan untuk \[f = {x^3}\] di saat x=0 merupakan titik belok, apakah betul f"(c)=0 ?)

Secara umum, teorema dan definisi di atas dapat menyusun algoritma penyelesaian berikut.

Jika ada pertanyaan, dapat ditulis pada kolom komentar.

Semoga bermanfaat.