SISTEM KOORDINAT

Berikut ini akan dijelaskan mengenai koordinat kartesius dan koordinat kutub, serta hubungan diantara keduanya. 

Koordinat Kartesius

 Titik pada sebuah garis dimensi satu dinyatakan dengan bilangan tunggal. Sedangkan titik-titik pada sebuah bidang pada dimensi dua dapat dinyatakan dengan pasangan suatu bilangan. Kemudian pula, titik pada ruang dimensi tiga dapat dinyatakan dengan tripel suatu bilangan.

Untuk merepresentasikan titik pada suatu bidang dengan pasangan bilangan, mula-mula ditentukan dua garis bersilangan OX dan OY, kemudian ditentukan skala pada masing-masing garis. Titik potong pada kedua garis disebut dengan titik pusat (O).

Garis OX disebut dengan sumbu-x dan garis OY disebut dengan sumbu-y. Serta, dua garis yang bersilangan disebut sumbu koordinat.

Suatu titik, katakanlah titik P yang berada pada bidang kartesius, maka titik P dapat direpresentasikan dengan P(x1,y1). Dalam contoh tersebut, maka x1 disebut dengan absis dan y1 disebut dengan ordinat.

Sumbu-sumbu koordinat memisahkan bidang ke dalam empat daerah yang disebut kuadran. Sehingga, ada 4 kuadran dalam bidang kartesius, dengan kuadran I merupakan pasangan dari (+,+), kuadran II merupakan pasangan (-,+), kuadran III merupakan pasangan (-,-), dan kuadran IV merupakan pasangan (+,-).

Koordinat Polar (Kutub)

Titik yang direpresentasikan pada koordinat kutub dapat dinyatakan dengan informasi yang dibutuhkan yaitu jarak antara titik pusat (O) ke titik P (r) dan sudut θ merupakan sudut yang terbentuk dari arah berlawanan dengan arah jarum jam, yang ditunjukkan pada gambar dibawah ini.

Meskipun r menyatakan suatu jarak, namun jarak tersebut adalah jarak yang berarah, sehingga r bisa negative , jika diambil dari arah yang searah jarum jam.

Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat kutub dapat dijelaskan dengan persamaan berikut.

Dengan menggunakan ilustrasi dari suatu titik P yang diletakkan pada koordinat kartesius dan polar, sebagai berikut.

Sehingga, dapat ditulis hubungan antara koordinat kartesius dan polar adalah :

\[\begin{array}{l}x = r\cos \theta ;\\y = r\sin \theta ;\\{x^2} + {y^2} = {r^2};\\\frac{y}{x} = \tan \theta .\end{array}\]

Sebagai contoh gantilah persamaan dalam koordinat polar berikut menjadi persamaan dalam koordinat kartesius. 

\[r = \frac{7}{{3\cos \theta  + 4\sin \theta }}\]

Penyelesaian :

\[\begin{array}{l}r = \frac{7}{{3\cos \theta  + 4\sin \theta }}\\ \Leftrightarrow r\left( {3\cos \theta  + 4\sin \theta } \right) = 7\\ \Leftrightarrow 3r\cos \theta  + 4r\sin \theta  = 7\\ \Leftrightarrow 3x + 4y = 7\\ \Leftrightarrow y = \frac{{7 - 3x}}{4}\end{array}\]

Oke, sudah paham kan?

Nah, bisa dicoba untuk soal yang sama, jika diketahui koordinat polarnya adalah

\[r = \frac{{12}}{{4\cos \theta  + 2\sin \theta }}\]

Tentukan bentuk persamaan dalam koordinat kartesius.

Semoga bermanfaat.