PENERAPAN TURUNAN

Pada artikel ini, saya akan membahas mengenai definisi, teorema, dan contoh penerapan turunan dalam kehidupan sehari-hari. Pembahasan mengenai definisi secara matematika dan makna pencarian turunan telah saya bahas pada artikel saya https://ditamatematika.blogspot.com/2020/10/turunan.html.

Konsep turunan banyak sekali digunakan sebagai alat bantu penyelesaian masalah, terutama untuk menyelesaikan masalah optimasi, kecepata, percepatan, dan juga limit fungsi. Nah, untuk dapat menerapkan turunan sebagai bagian dari solusi, maka akan kita bahas beberapa definisi, teorema yang dapat digunakan.

1.  Titik ekstrim fungsi

        Terlebih dahulu ada syarat bahwa suatu fungsi kontinu di daerah asalnya, (definisi kekontinuan, coba cek lagi ya https://www.youtube.com/watch?v=6piFs3oM_u0 ). Nah fungsi yang kontinu ini dapat memuat nilai maksimum, dan / atau nilai minimun yang dikenal sebagai nilai ekstrim.

Definisi 1.1

Diberikan fungsi f yang terdefinisi pada [a,b]

i. Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di \[c \in [a,b]\] bila \[f(c) \ge f(x)\] untuk setiap \[x \in [a,b]\].

ii. Fungsi f dikatakan mencapai minimum mutlak di \[c \in [a,b]\] bila  \[f(c) \le f(x)\]  untuk setiap \[x \in [a,b]\].

Definisi 1.2

Diberikan fungsi f yang terdefinisi pada [a,b]

i. Fungsi f dikatakan mencapai maksimum lokal di \[u \in [a,b]\] bila terdapat \[(c,d) \subset [a,b]\], sehingga untuk  \[u \in [a,b],f(u) \ge f(x),\forall x \in (c,d)\].

ii. Fungsi f dikatakan mencapai minimum lokal di \[u \in [a,b]\] bila terdapat \[(c,d) \subset [a,b]\], sehingga untuk \[u \in [a,b],f(u) \le f(x),\forall x \in (c,d)\].

Ilustrasi untuk Definisi 1.1 dan Definisi 1.2 dengan menggunakan gambar berikut.

Gambar 1

Teorema 1.1

Misalkan f kontinu pada suatu interval terbuka yang memuat c. Jika f terdifferensialkan di c, dan (c,f(c)) titik ektrim, maka f'(c)=0 atau f'(c) tidak ada.

Nah, titik c yang menyebabkan f'(c)=0 atau f'(c) tidak ada disebut dengan titik kritis. Penjelasan di atas sangat bermanfaat untuk memahami bahwa jika fungsi f terdefinisi pada [1,b], maka nilai maksimum atau minimum dari f dapat ditentukan sebagai berikut.

1. Tentukan titik kritisnya, misalkan di x=c.

2.  Tentukan nilai-nilai dari f(a), f(b), dan f(c). Nilai terbesar dari ketiganya adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum.

Teorema 1.2 (Teorema Rolle)

Misalkan fungsi f kontinu pada [a,b] dan terdifferensialkan pada (a,b), serta f(a)=f(b), maka terdapat \[c \in (a,b)\] sehingga f'(c)=0.

Teorema 1.3 (Teorema Nilai Rata-rata)

Misalakn fungsi f kontinu pada [a,b] dan terdifferensialkan pada (a,b), maka terdapat \[c \in (a,b)\] sehingga \[f'(c) = \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}\]

2. Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Definisi 2.1 

Misalkan fungsi f yang terdefinisi pada interval I, maka 

i. Fungsi f dikatakan naik pada I, jika u<v, maka berlaku \[f(u) < f(v),\forall u,v \in I\]

ii. Fungsi f dikatakan turun pada I, jika u<v, maka berlaku \[f(u) > f(v),\forall u,v \in I\]

Teorema 2.1 (Uji Turunan Pertama untuk Kemonotonan Fungsi)

Misalkan f yang terdefinisi pada interval I dan  terdifferensialkan pada setiap titik dalam interval I.

i. Jika berlaku \[f'(x) > 0,\forall x \in I\] , maka f monoton naik pada I.

ii. Jika berlaku \[f'(x) < 0,\forall x \in I\] , maka f monoton turun pada I.

Teorema 2.2 (Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal)

Misalkan f fungsi kontinu pada interval terbuka yang memuat titik c. Jika terdapat suatu \[\delta  > 0\] sehingga :

i. Jika \[f'(x) > 0,\forall x \in (c - \delta ,c)\] dan \[f'(x) < 0,\forall x \in (c,c + \delta )\] , maka f mencapai maksimum lokal di c.

ii. Jika \[f'(x) < 0,\forall x \in (c - \delta ,c)\] dan \[f'(x) > 0,\forall x \in (c,c + \delta )\] , maka f mencapai minimum lokal di c.

Teorema 2.3 (Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal)

Misalkan f fungsi yang terdifferensialkan sampai dengan turunan kedua pada suatu interval buka yang memuat c dan (c,f(c)) titik ekstrem.

i. Jika f''(c)>0, maka f mencapai minimum lokal di c.

ii. Jika f''(c)<0, maka f mencapai maksimum lokal di c.

iii. Jika f''(c)=0, maka uji gagal (tidak ada keputusan). 

3. Titik Belok Fungsi

Definisi 3.1 Misalkan f fungsi yang kontinu pad suatu interval yang memuat c. Fungsi f dikatakan mencapai titik belok di c apabila terdapat perubahan kecekungan pada grafik fungsi di sekitar c.

Sebagai, ilustrasi dapat dilihat sketsa fungsi berikut.

                                 Gambar 2

Nah, pada Gambar 2 merupakan sketsa dari fungsi \[f = {x^3}\],  titik belok dapat diamati terjadi pada x=0, karena saat x<0 dan x>0 terjadi perubahan kecekungan.

Teorema 3.2 

Misalkan f terdifferensialkan pada suatu interval yang memuat c. Jika fungsi f mencapai titik belok di c dan f"(c) ada, maka f"(c)=0. 

Perhatikan pernyataan pada Teorema 3.2 dapat diartikan bahwa :

1. Jika f mencapai titik belok di x=c , maka tentu f"(c)=0.

2. Tetapi kebalikan dari teorema di atas tidak selalu benar, artinya jika f"(c)=0 tidak selalu c merupakan titik belok.

(Silakan dibuktikan untuk \[f = {x^3}\] di saat x=0 merupakan titik belok, apakah betul f"(c)=0 ?)

Secara umum, teorema dan definisi di atas dapat menyusun algoritma penyelesaian berikut.

Jika ada pertanyaan, dapat ditulis pada kolom komentar.

Semoga bermanfaat.

TURUNAN

Jikalau ada suatu fungsi, katakanlah \[f(x) = {x^2}\] , maka Anda dapat dengan mudah mengatakan bahwa turunan dari fungsi tersebut adalah \[f'(x) = 2x\] .

Nah, apa sebenarnya "turunan" ini? Jangan sampai kita bisa menghitungnya, tetapi tidak tahu apa yang sedang dihitung.

Petunjuk yang bisa digunakan adalah kita sering menggunakan turunan untuk menghitung laju atau kecepatan.  Coba perhatikan dengan sesama definisi dari turunan sebagai berikut.

1. Definisi Turunan

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval buka yang memuat c. Turunan fungsu f di titik c, ditulis dengan f', didefinisikan sebagai 

\(f'(c) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {c^{}}} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}}\)

atau, dengan memisalkan bahwa x-c=h, dapat ditulis kembali menjadi 

\(f'(c) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(c + h) - f(c)}}{h}\)

nilai turunan pada ruas kiri dijamin ada, jika nilai limit pada ruas kanan pun ada.

Perhatikan definisi di atas, bahwa 

Lingkaran warna biru, menunjukkan perubahan nilai pada variabel bebas (x) yang mendekati nol (perubahan yang sangat kecil).

Lingkaran warna merah, menunjukkan perubahan nilai pada variabel tak bebas (f(x)).

Lingkaran warna hijau, dibagi dengan selisih x dan c.

Dengan demikian, tujuan kita menghitung turunan adalah mencari berapa perubahan variabel tak bebas, saat variabel bebasnya berubah, dimana perubahan variabel bebas dibuat sekecil mungkin hingga mendekati nol.

2. Turunan Kiri dan Turunan Kanan

Suatu fungsi dikatakan terdifferensial / differensiabel di titik x=c, jika dan hanya jika, 

\[f{'_ - }(c) = f{'_ + }(c)\]

 (artinya turunan kanan sama dengan turunan kiri).

Dengan keterangan bahwa :

\[f{'_ - }(c) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ - }} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}} = f{'_ + }(c) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ + }} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}}\]

Apakah setiap fungsi selalu memiliki turunan ? Jawabannya, belum tentu.

Kapan suatu fungsi dikatakan tidak memiliki turunan ?

1.  Bila suatu fungsi mempunyai patahan atau suatu sudut dititik tertenty, maka fungsi itu tidak terdifferensialkan di titik tersebut. Contoh \[f(x) = \left| x \right|\] tidak terdifferensialkan di x=0, karena dapat dilihat pada grafik terjadi patahan di x=0.
2.  Bila suatu fungsi memiliki titik diskontinu di x=a, maka fungsi tersebut tidak terdifferensialkan di titik tersebut (x=a).
3. Bila suatu fungsi memiliki garis singgung tegak, atau gradien garis singgungnya tak hingga yaitu \[f'(a) = \infty \] , maka fungsi tersebut tidak terdifferensialkan di x=a.

Contoh :

Suatu fungsi \[f(x) = \left| {x - 4} \right|,x \in \Re \] , apakah memiliki turunan di x=4 ?

Penyelesaian :

Karena berupa fungsi nilai mutlak, maka perlu mendefinisikan fungsi terlebih dahulu, yaitu :

\[\left| {x - 4} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 4}&{,x \ge 4}\\{ - (x - 4)}&{,x < 4}\end{array}} \right.\]

Sehingga, kita membutuhkan bantuan dari definisi turunan kanan dan turunan kiri dari fungsi tersebut.

Turunan Kiri

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{ - (x - 4) - 0}}{{x - 4}} =  - 1\]

Turunan Kanan

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{(x - 4) - 0}}{{x - 4}} = 1\]

Karena \[f{'_ - }(4) \ne f{'_ + }(4)\] , maka f'(4) tidak ada. Dkl, f(x) tidak terdfifferensialkan di x=4.

Ilustrasi

Perhatikan gambar tersebut, terjadi patahan di x=4, ini merupakan salah satu ciri dari tidak terdifferensialkan pada titik x=4.

Sudah faham?

Coba silakan di cek untuk fungsi \[f(x) = \left| {2x - 1} \right|,x \in \Re \] , apakah memiliki turunan di x=1/2 ?

Silakan sertakan jawaban tersebut pada kolom komentar, serta jika ada pertanyaan bisa dituliskan pada kolom komentar.

Semoga bermanfaat.

LIMIT FUNGSI

Pada bidang matematika, kita akan mengenal apa itu limit fungsi. Walaupun, kita sudah tidak asing lagi dengan istilah limit di dalam kehidupan sehari hari. Jika kita cari dalam KBBI, limit berarti batas, tapal batas. 

Kalimat yang sering kita dengar adalah limit waktunya 5 jam lagi, limit kartu kreditnya 5 juta rupiah, atau kuota internetnya sudah mencapai limit.

Nah, jika kita terapkan dalam bidang matematika, maka kita akan mengenal “ berapa limit fungsi f(x) di x=a  ?”, dengan kata lain, kita ingin mencari tahu nilai fungsi f(x) saat x mendekati a.

Mari kita bahas Bersama. 

Sebagai contoh fungsi berikut. \[f(x) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\]

Ketika ada orang yang bertanya, berapakan nilai fungsi saat x=1 ? Apakah kita bisa menjawabnya ?

Baik, mari kita coba simulasikan.

Ternyata nilai f(x) saat x=1 (x tepat pada 1), maka kita akan mendapatkan 0/0. Disinilah peran dari limit pada bidang matematika, yaitu dengan menggunakan limit fungsi. 

Dengan kata lain, yang kita cari adalah nilai f(x) saat x dekat sekali dengan 1, ingat ya “dekat sekali” akan berbeda dengan kalimat “tepat pada”.  

Baik, mari kita tuliskan dengan definisi limit.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = ?\]

Sudah bisa mendapatkan nilai tersebut ?

\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}\\{\rm{               }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right)\\{\rm{               }} = 2\end{array}\]

Dari hasil tersebut, kita bisa mengatakan bahwa nilai f(x) saat x dekat sekali dengan 1, maka f(x)=2.

Secara umum,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L\]

dapat dibaca, nilai f(x) saat x dekat sekali dengan "a", maka nilai f(x) akan mendekati L.

Limit Kiri dan Limit Kanan

Limit fungsi disuatu titik dapat didekati dari kiri dan dari kanan, sehingga kita menyebutnya limit kiri dan limit kanan. Secara definisi, dapat ditulis sebagai berikut.

1. Limit Kiri

Jika x menuju a dari arah kiri yaitu dari arah bilangan yang lebih kecil dari a, maka disebut dengan limit  kiri, atau dapat ditulis

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = L\]

       2. Limit Kanan

Jika x menuju a dari arah kanan yaitu dari arah bilangan yang lebih besar dari a, maka disebut dengan limit kanan, atau dapat ditulis

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = L\]

Lebih lanjut, suatu fungsi dikatakan memiliki limit pada titik x=a, jika hanya jika limit kiri sama dengan limit kanan. Dengan kata lain,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x)\]

Contoh

Carilah limit kanan dan limit kiri dari fungsi berikut di x=2 dan x=3, dari fungsi berikut.

\[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 5 }&{,x < 2}\\\begin{array}{l}9 - {x^2}\\x - 2\end{array}&\begin{array}{l},2 \le x < 3\\,x \ge 3\end{array}\end{array}} \right.\]

Penyelesaian untuk x=2, yaitu 

\[\begin{array}{l}f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 5 }&{,x < 2}\\\begin{array}{l}9 - {x^2}\\x - 2\end{array}&\begin{array}{l},2 \le x < 3\\,x \ge 3\end{array}\end{array}} \right.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \sqrt 5  = \sqrt 5 \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} 9 - {x^2} = 5\end{array}\]

Apakah limit fungsi di x=2 ada? Karena limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka fungsi tersebut dikatakan tidak memiliki limit untuk x=2.

Bagaimana dengan limit fungsi di x=3 ?

Nah, dengan cara yang sama, coba diselidiki dan tulis hasilnya saja di kolom komentar.

Semoga bermanfaat.

 

 

FUNGSI

Secara definisi, dapat dijelaskan sebagai berikut. Diketahui himpunan A dan himpunan B yang merupakan subset dari himpunan bilangan real, maka fungsi dari A ke B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap elemen dalam himpunan A tepat satu elemen dalam himpunan B. Lambang dari fungsi adalah \[y = f(x)\]

Pada symbol tersebut, x dinamakan peubah bebas dan y disebut peubah tak bebas (karena y bergantung pada nilai x). Selanjutnya, himpunan A disebut daerah asal (domain) fungsi, serta himpunan B adalah kodomain. Sedangkan yang disebut daerah nilai (range) adalah \[f(x) \in B\]

Pada awalnya harus paham mengenai himpunan bilangan real, karena daerah asal, kodomain dan range semuanya merupakan himpunan bagian dari bilangan real, untuk selanjutnya dinamakan dengan fungsi dengan peubah real atau fungsi real.

Penyajian dari suatu fungsi dapat berupa : 

1. Diagram panah 
   Penyajian dalam bentuk diagram panah,  dengan mengkaitkan suatu elemen dari himpunan A ke suatu elemen pada himpunan B.
   
   
   
   
2. Grafik
   Suatu titik yang direpresentasikan dalam bidang kartesius dapat digunakan untuk menuliskan fungsi, yaitu dengan memasangkan setiap titik pada daerah asal ke daerah hasil.
   
   
   
   
3. Aljabar
   Penyajian fungsi secara aljabar adalah penyajian dengan menggunakan rumus matematis. Misalnya adalah \[f(x) = {x^2};L(r) = \pi {r^2};V(r) = \frac{4}{3}\pi {r^3}\]

Uji garis vertical

Kurva di bidang kartesius merepresentasikan suatu fungsi jika dan hanya jika tidak terdapat garis vertikal yang memotong grafik lebih dari satu kali.

Nah, tidak semua grafik itu merupakan fungsi. Untuk memastikan grafik tersebut adalah fungsi , maka dapat di uji dengan membuat garis vertikal yang melewati fungsi tersebut. Jika terdapat 2 titik yang berpotongan dengan garis vertikal, maka grafik tersebut bukan merupakan fungsi.

Grafik di atas merupakan fungsi, karena saat di lakukan uji garis vertikal (hijau) hanya memotong kurva (orange) hanya di satu titik. Sedangkan, gambar dibawah ini bukan merupakan fungsi, karena uji garis vertikal (hijau) mengenai kurva (orange) di 2 titik.

Grafik yang bukan fungsi, dapat diubah menjadi fungsi dengan mengubah atau membatasi nilai y hanya yg positif.

Jenis Fungsi

Terdapat beberapa fungsi yang sering digunakan yaitu

a.      Fungsi Aljabar

b.      Fungsi Transenden

c.      Fungsi Hiperbolik

d.      Fungsi genap dan ganjil

e.      Fungsi Ekplisit dan Fungsi Implisit

f.       Fungsi parameter

g.      Fungsi yang terdefinisi sepotong-sepotong

h.      Fungsi periodic

i.       Fungsi bilangan bulat terbesar

Sudah faham bukan?

Coba sekarang berikan contoh fungsi yang disajikan dalam bentuk aljabar.

Semoga bermanfaat.

SISTEM KOORDINAT

Berikut ini akan dijelaskan mengenai koordinat kartesius dan koordinat kutub, serta hubungan diantara keduanya. 

Koordinat Kartesius

 Titik pada sebuah garis dimensi satu dinyatakan dengan bilangan tunggal. Sedangkan titik-titik pada sebuah bidang pada dimensi dua dapat dinyatakan dengan pasangan suatu bilangan. Kemudian pula, titik pada ruang dimensi tiga dapat dinyatakan dengan tripel suatu bilangan.

Untuk merepresentasikan titik pada suatu bidang dengan pasangan bilangan, mula-mula ditentukan dua garis bersilangan OX dan OY, kemudian ditentukan skala pada masing-masing garis. Titik potong pada kedua garis disebut dengan titik pusat (O).

Garis OX disebut dengan sumbu-x dan garis OY disebut dengan sumbu-y. Serta, dua garis yang bersilangan disebut sumbu koordinat.

Suatu titik, katakanlah titik P yang berada pada bidang kartesius, maka titik P dapat direpresentasikan dengan P(x1,y1). Dalam contoh tersebut, maka x1 disebut dengan absis dan y1 disebut dengan ordinat.

Sumbu-sumbu koordinat memisahkan bidang ke dalam empat daerah yang disebut kuadran. Sehingga, ada 4 kuadran dalam bidang kartesius, dengan kuadran I merupakan pasangan dari (+,+), kuadran II merupakan pasangan (-,+), kuadran III merupakan pasangan (-,-), dan kuadran IV merupakan pasangan (+,-).

Koordinat Polar (Kutub)

Titik yang direpresentasikan pada koordinat kutub dapat dinyatakan dengan informasi yang dibutuhkan yaitu jarak antara titik pusat (O) ke titik P (r) dan sudut θ merupakan sudut yang terbentuk dari arah berlawanan dengan arah jarum jam, yang ditunjukkan pada gambar dibawah ini.

Meskipun r menyatakan suatu jarak, namun jarak tersebut adalah jarak yang berarah, sehingga r bisa negative , jika diambil dari arah yang searah jarum jam.

Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat kutub dapat dijelaskan dengan persamaan berikut.

Dengan menggunakan ilustrasi dari suatu titik P yang diletakkan pada koordinat kartesius dan polar, sebagai berikut.

Sehingga, dapat ditulis hubungan antara koordinat kartesius dan polar adalah :

\[\begin{array}{l}x = r\cos \theta ;\\y = r\sin \theta ;\\{x^2} + {y^2} = {r^2};\\\frac{y}{x} = \tan \theta .\end{array}\]

Sebagai contoh gantilah persamaan dalam koordinat polar berikut menjadi persamaan dalam koordinat kartesius. 

\[r = \frac{7}{{3\cos \theta  + 4\sin \theta }}\]

Penyelesaian :

\[\begin{array}{l}r = \frac{7}{{3\cos \theta  + 4\sin \theta }}\\ \Leftrightarrow r\left( {3\cos \theta  + 4\sin \theta } \right) = 7\\ \Leftrightarrow 3r\cos \theta  + 4r\sin \theta  = 7\\ \Leftrightarrow 3x + 4y = 7\\ \Leftrightarrow y = \frac{{7 - 3x}}{4}\end{array}\]

Oke, sudah paham kan?

Nah, bisa dicoba untuk soal yang sama, jika diketahui koordinat polarnya adalah

\[r = \frac{{12}}{{4\cos \theta  + 2\sin \theta }}\]

Tentukan bentuk persamaan dalam koordinat kartesius.

Semoga bermanfaat.

 

NILAI MUTLAK

 Nilai mutlak pada bilangan real \[x\] , ditulis dengan simbol \[\left| x \right|\] , didefinisikan sebagai 

\(\left| x \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}x&{,x \ge 0}\\{ - x}&{,x < 0}\end{array}} \right.\)

Nilai mutlak akan selalu bernilai positif, mengapa?

Karena, bila kita andaikan simbol \(\left| {} \right|\) sebagai sebuah mesin, maka mesin tersebut akan mengubah apapun inputnya ( positif atau negatif) menjadi output yang positif.

Sebagai contoh, misalkan kita memiliki \(x = 2\) maka tentu saja nilai \[x\] akan berada pada daerah \[x \ge 0\], nah sehingga yang berlaku adalah \[\left| 2 \right| = 2\].

Tetap, misalkan kita memiliki \[x =  - 2\], maka tentu saja nilai \[x\] akan berada pada daerah \[x < 0\], nah sehingga yang berlaku adalah \[\left| { - 2} \right| =  - \left( { - 2} \right) = 2\].

Sampai disini paham ya definisi nilai mutlak?

Dalam penggunaan dari nilai mutlak ini memiliki beberapa interpretasi :

1. \[\left| x \right| = maksimum\left\{ { - x,x} \right\}\]
2. \[\left| x \right| = \sqrt {{x^2}} \]
3. \[\left| x \right| = jarak{\rm{ antara titik x dan 0}}\] , sedangkan \[\left| {x - c} \right| = jarak{\rm{ antara titik x dan c}}\]

Sifat Nilai Mutlak

Untuk setiap bilangan real \[x\] berlaku :

1. \(\left| x \right| \le a,a \ge 0\quad  \leftrightarrow \quad  - a \le x \le a\)
2. \(\left| x \right| \ge a,a \ge 0\quad  \leftrightarrow \quad x \ge a\;\)  atau  \(x \le  - a\)
3. \(\left| x \right| \le \left| y \right|\quad  \leftrightarrow {x^2} \le {y^2}\)
4. \(\left| {\frac{x}{y}} \right| = \frac{{\left| x \right|}}{{\left| y \right|}}\)
5. \(\left| {x + y} \right| \le \left| x \right| + \left| y \right|\)
6. \(\left| {x - y} \right| \ge \left| {\left| x \right| - \left| y \right|} \right|\)

Contoh definisi nilai mutlak pada :

\[\left| {x - 2} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2}&{,x \ge 2}\\{ - (x - 2)}&{,x < 2}\end{array}} \right.\]

Sebagai latihan, coba tentukan definisi dari \[\left| {x - 4} \right|\] tuliskan pada kolom komentar ya.

Serta, bila ada pertanyaan bisa ditulisakan pada kolom komentar.

Semoga bermanfaat.

SISTEM BILANGAN REAL

 

Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian, sehingga memnuhi aksioma tertentu. Dalam penulisannya ditulis dengan simbol  \[\Re \] (baca : R cantik).

Terdapat 3 aksioma yang berlaku dalam system bilangan real, yaitu aksioma lapangan, aksioma urutan, dan aksioma kelengkapan.

Komponen pada Bilangan Real

Pada bilangan real terdapat himpunan-himpunan bilangan yang sering kita pakai, yaitu :

1.      Himpunan bilangan asli, yang biasanya digunakan untuk menghitung banyaknya elemen suatu himpunan. Disimbolkan dengan \[\aleph \] (baca : N cantik), yang berisi \[\aleph  = \{ 1,2,3,...\} \].

2.      Himpunan bilangan prima, yaitu himpunan bilangan asli yang hanya mempunyai 2 faktor yang terdiri dari 1 dan dirinya sendiri. Sehingga daftar elemen himpunan bilangan prima adalah \[\{ 2,3,5,7,...\} \].

3.      Himpunan bilangan komposit, yaitu himpunan bilangan asli yang mempunyai lebih dari 2 faktor.

4.      Himpunan bilangan cacah, yaitu himpunan bialngan asli beserta bilangan nol. Sehingga, daftar elemen himpunan bilangan cacah adalah \[\{ 0,1,2,3,...\} \].

5.      Himpunan bilangan bulat, yaitu himpunan bilangan cacah (himpunan bilangan bulat non negatif) dan himpunan bilangan bulat negatif). Disimbolkan dengan \[\mathbb{Z}\] (baca : Z cantik), yang memiliki elemen adalah \[\mathbb{Z} = \{ ..., - 2, - 1,0,1,2,...\} \]

6.      Himpunan bilangan genap, yaitu himpunan bilangan bulat kelipatan dua. Sehingga, daftar elemen himpunan bilangan genap adalah \[\{ ..., - 4, - 2,0,2,4,...\} \]

7.      Himpunan bilangan ganjil, yaitu himpunan bilangan bulat bukan kelipatan dua, memiliki daftar elemennya adalah \[\{ ..., - 3, - 1,1,3,...\} \]

8.      Himpunan bilangan rasional, yaitu bilangan yang memiliki ciri bentuk desimalnya yang selalu berulang (repeating) , atau bentuk decimal yang berakhir (terminating). Contoh bilangan rasional adalah \[\frac{1}{8} = 0,125;\frac{2}{3} = 0,6666...\]

9.      Himpunan bilangan irasional, yaitu himpunan bilangan yang anggotanya bukan bilangan rasional. Contoh bilangan irasional adalah \[\sqrt 2 ,(2,718281828459045)\]

10.   Himpunan bilangan rasional dan irasional inilah yang yang membentuk himpunan bilangan real.

Berikut ilustrasinya :

Interval

Interval (selang) didefinisikan sebagai himpunan bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan tertentu. Ada dua macam interval, yaitu interval hingga dan interval tak hingga.

Pada interval hingga, himpunan bagian dari himpunan bilang real yang terbatas di bawah dan di atas. Sedangkan interval tak hingga , tidak terbatsa di atas dan di bawah. Berikut ilustrasinya

Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar adalah suatu bentuk yang diperoleh dengan sejumlah hingga operasi aljarbar atas peubah, konstanta, dan parameter. Berikut adalah keterangannya

i.                 Peubah (variable) adalah notasi yang mewakili suatu unsur dalam suatu himpunan

ii.                Kontanta adalah notasu yang mewakili suatu unsur dalam himpunan berunsur satu.

iii.               Parameter adalah notasi yang mewakiki unsur dalam himpunan konstanta.

Misalkan diketahui bentuk aljabar  \[f(x) = {x^2} - 2x + c\] , maka dapat dikatakan bahwa x adalah peubah, (-2) adalah konstanta, dan c adalah parameter.

Apakah sudah paham? 
Jika sudah, coba berikan 1 contoh bentuk aljabar dan berikan keterangan ya.

Semoga bermanfaat.