LIMIT FUNGSI

Pada bidang matematika, kita akan mengenal apa itu limit fungsi. Walaupun, kita sudah tidak asing lagi dengan istilah limit di dalam kehidupan sehari hari. Jika kita cari dalam KBBI, limit berarti batas, tapal batas. 

Kalimat yang sering kita dengar adalah limit waktunya 5 jam lagi, limit kartu kreditnya 5 juta rupiah, atau kuota internetnya sudah mencapai limit.

Nah, jika kita terapkan dalam bidang matematika, maka kita akan mengenal “ berapa limit fungsi f(x) di x=a  ?”, dengan kata lain, kita ingin mencari tahu nilai fungsi f(x) saat x mendekati a.

Mari kita bahas Bersama. 

Sebagai contoh fungsi berikut. \[f(x) = \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\]

Ketika ada orang yang bertanya, berapakan nilai fungsi saat x=1 ? Apakah kita bisa menjawabnya ?

Baik, mari kita coba simulasikan.

Ternyata nilai f(x) saat x=1 (x tepat pada 1), maka kita akan mendapatkan 0/0. Disinilah peran dari limit pada bidang matematika, yaitu dengan menggunakan limit fungsi. 

Dengan kata lain, yang kita cari adalah nilai f(x) saat x dekat sekali dengan 1, ingat ya “dekat sekali” akan berbeda dengan kalimat “tepat pada”.  

Baik, mari kita tuliskan dengan definisi limit.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = ?\]

Sudah bisa mendapatkan nilai tersebut ?

\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}\\{\rm{               }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right)\\{\rm{               }} = 2\end{array}\]

Dari hasil tersebut, kita bisa mengatakan bahwa nilai f(x) saat x dekat sekali dengan 1, maka f(x)=2.

Secara umum,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L\]

dapat dibaca, nilai f(x) saat x dekat sekali dengan "a", maka nilai f(x) akan mendekati L.

Limit Kiri dan Limit Kanan

Limit fungsi disuatu titik dapat didekati dari kiri dan dari kanan, sehingga kita menyebutnya limit kiri dan limit kanan. Secara definisi, dapat ditulis sebagai berikut.

1. Limit Kiri

Jika x menuju a dari arah kiri yaitu dari arah bilangan yang lebih kecil dari a, maka disebut dengan limit  kiri, atau dapat ditulis

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = L\]

       2. Limit Kanan

Jika x menuju a dari arah kanan yaitu dari arah bilangan yang lebih besar dari a, maka disebut dengan limit kanan, atau dapat ditulis

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = L\]

Lebih lanjut, suatu fungsi dikatakan memiliki limit pada titik x=a, jika hanya jika limit kiri sama dengan limit kanan. Dengan kata lain,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x)\]

Contoh

Carilah limit kanan dan limit kiri dari fungsi berikut di x=2 dan x=3, dari fungsi berikut.

\[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 5 }&{,x < 2}\\\begin{array}{l}9 - {x^2}\\x - 2\end{array}&\begin{array}{l},2 \le x < 3\\,x \ge 3\end{array}\end{array}} \right.\]

Penyelesaian untuk x=2, yaitu 

\[\begin{array}{l}f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 5 }&{,x < 2}\\\begin{array}{l}9 - {x^2}\\x - 2\end{array}&\begin{array}{l},2 \le x < 3\\,x \ge 3\end{array}\end{array}} \right.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \sqrt 5  = \sqrt 5 \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} 9 - {x^2} = 5\end{array}\]

Apakah limit fungsi di x=2 ada? Karena limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka fungsi tersebut dikatakan tidak memiliki limit untuk x=2.

Bagaimana dengan limit fungsi di x=3 ?

Nah, dengan cara yang sama, coba diselidiki dan tulis hasilnya saja di kolom komentar.

Semoga bermanfaat.

 

 

FUNGSI

Secara definisi, dapat dijelaskan sebagai berikut. Diketahui himpunan A dan himpunan B yang merupakan subset dari himpunan bilangan real, maka fungsi dari A ke B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap elemen dalam himpunan A tepat satu elemen dalam himpunan B. Lambang dari fungsi adalah \[y = f(x)\]

Pada symbol tersebut, x dinamakan peubah bebas dan y disebut peubah tak bebas (karena y bergantung pada nilai x). Selanjutnya, himpunan A disebut daerah asal (domain) fungsi, serta himpunan B adalah kodomain. Sedangkan yang disebut daerah nilai (range) adalah \[f(x) \in B\]

Pada awalnya harus paham mengenai himpunan bilangan real, karena daerah asal, kodomain dan range semuanya merupakan himpunan bagian dari bilangan real, untuk selanjutnya dinamakan dengan fungsi dengan peubah real atau fungsi real.

Penyajian dari suatu fungsi dapat berupa : 

1. Diagram panah 
   Penyajian dalam bentuk diagram panah,  dengan mengkaitkan suatu elemen dari himpunan A ke suatu elemen pada himpunan B.
   
   
   
   
2. Grafik
   Suatu titik yang direpresentasikan dalam bidang kartesius dapat digunakan untuk menuliskan fungsi, yaitu dengan memasangkan setiap titik pada daerah asal ke daerah hasil.
   
   
   
   
3. Aljabar
   Penyajian fungsi secara aljabar adalah penyajian dengan menggunakan rumus matematis. Misalnya adalah \[f(x) = {x^2};L(r) = \pi {r^2};V(r) = \frac{4}{3}\pi {r^3}\]

Uji garis vertical

Kurva di bidang kartesius merepresentasikan suatu fungsi jika dan hanya jika tidak terdapat garis vertikal yang memotong grafik lebih dari satu kali.

Nah, tidak semua grafik itu merupakan fungsi. Untuk memastikan grafik tersebut adalah fungsi , maka dapat di uji dengan membuat garis vertikal yang melewati fungsi tersebut. Jika terdapat 2 titik yang berpotongan dengan garis vertikal, maka grafik tersebut bukan merupakan fungsi.

Grafik di atas merupakan fungsi, karena saat di lakukan uji garis vertikal (hijau) hanya memotong kurva (orange) hanya di satu titik. Sedangkan, gambar dibawah ini bukan merupakan fungsi, karena uji garis vertikal (hijau) mengenai kurva (orange) di 2 titik.

Grafik yang bukan fungsi, dapat diubah menjadi fungsi dengan mengubah atau membatasi nilai y hanya yg positif.

Jenis Fungsi

Terdapat beberapa fungsi yang sering digunakan yaitu

a.      Fungsi Aljabar

b.      Fungsi Transenden

c.      Fungsi Hiperbolik

d.      Fungsi genap dan ganjil

e.      Fungsi Ekplisit dan Fungsi Implisit

f.       Fungsi parameter

g.      Fungsi yang terdefinisi sepotong-sepotong

h.      Fungsi periodic

i.       Fungsi bilangan bulat terbesar

Sudah faham bukan?

Coba sekarang berikan contoh fungsi yang disajikan dalam bentuk aljabar.

Semoga bermanfaat.

SISTEM KOORDINAT

Berikut ini akan dijelaskan mengenai koordinat kartesius dan koordinat kutub, serta hubungan diantara keduanya. 

Koordinat Kartesius

 Titik pada sebuah garis dimensi satu dinyatakan dengan bilangan tunggal. Sedangkan titik-titik pada sebuah bidang pada dimensi dua dapat dinyatakan dengan pasangan suatu bilangan. Kemudian pula, titik pada ruang dimensi tiga dapat dinyatakan dengan tripel suatu bilangan.

Untuk merepresentasikan titik pada suatu bidang dengan pasangan bilangan, mula-mula ditentukan dua garis bersilangan OX dan OY, kemudian ditentukan skala pada masing-masing garis. Titik potong pada kedua garis disebut dengan titik pusat (O).

Garis OX disebut dengan sumbu-x dan garis OY disebut dengan sumbu-y. Serta, dua garis yang bersilangan disebut sumbu koordinat.

Suatu titik, katakanlah titik P yang berada pada bidang kartesius, maka titik P dapat direpresentasikan dengan P(x1,y1). Dalam contoh tersebut, maka x1 disebut dengan absis dan y1 disebut dengan ordinat.

Sumbu-sumbu koordinat memisahkan bidang ke dalam empat daerah yang disebut kuadran. Sehingga, ada 4 kuadran dalam bidang kartesius, dengan kuadran I merupakan pasangan dari (+,+), kuadran II merupakan pasangan (-,+), kuadran III merupakan pasangan (-,-), dan kuadran IV merupakan pasangan (+,-).

Koordinat Polar (Kutub)

Titik yang direpresentasikan pada koordinat kutub dapat dinyatakan dengan informasi yang dibutuhkan yaitu jarak antara titik pusat (O) ke titik P (r) dan sudut θ merupakan sudut yang terbentuk dari arah berlawanan dengan arah jarum jam, yang ditunjukkan pada gambar dibawah ini.

Meskipun r menyatakan suatu jarak, namun jarak tersebut adalah jarak yang berarah, sehingga r bisa negative , jika diambil dari arah yang searah jarum jam.

Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat kutub dapat dijelaskan dengan persamaan berikut.

Dengan menggunakan ilustrasi dari suatu titik P yang diletakkan pada koordinat kartesius dan polar, sebagai berikut.

Sehingga, dapat ditulis hubungan antara koordinat kartesius dan polar adalah :

\[\begin{array}{l}x = r\cos \theta ;\\y = r\sin \theta ;\\{x^2} + {y^2} = {r^2};\\\frac{y}{x} = \tan \theta .\end{array}\]

Sebagai contoh gantilah persamaan dalam koordinat polar berikut menjadi persamaan dalam koordinat kartesius. 

\[r = \frac{7}{{3\cos \theta  + 4\sin \theta }}\]

Penyelesaian :

\[\begin{array}{l}r = \frac{7}{{3\cos \theta  + 4\sin \theta }}\\ \Leftrightarrow r\left( {3\cos \theta  + 4\sin \theta } \right) = 7\\ \Leftrightarrow 3r\cos \theta  + 4r\sin \theta  = 7\\ \Leftrightarrow 3x + 4y = 7\\ \Leftrightarrow y = \frac{{7 - 3x}}{4}\end{array}\]

Oke, sudah paham kan?

Nah, bisa dicoba untuk soal yang sama, jika diketahui koordinat polarnya adalah

\[r = \frac{{12}}{{4\cos \theta  + 2\sin \theta }}\]

Tentukan bentuk persamaan dalam koordinat kartesius.

Semoga bermanfaat.