PENERAPAN TURUNAN

Pada artikel ini, saya akan membahas mengenai definisi, teorema, dan contoh penerapan turunan dalam kehidupan sehari-hari. Pembahasan mengenai definisi secara matematika dan makna pencarian turunan telah saya bahas pada artikel saya https://ditamatematika.blogspot.com/2020/10/turunan.html.

Konsep turunan banyak sekali digunakan sebagai alat bantu penyelesaian masalah, terutama untuk menyelesaikan masalah optimasi, kecepata, percepatan, dan juga limit fungsi. Nah, untuk dapat menerapkan turunan sebagai bagian dari solusi, maka akan kita bahas beberapa definisi, teorema yang dapat digunakan.

1.  Titik ekstrim fungsi

        Terlebih dahulu ada syarat bahwa suatu fungsi kontinu di daerah asalnya, (definisi kekontinuan, coba cek lagi ya https://www.youtube.com/watch?v=6piFs3oM_u0 ). Nah fungsi yang kontinu ini dapat memuat nilai maksimum, dan / atau nilai minimun yang dikenal sebagai nilai ekstrim.

Definisi 1.1

Diberikan fungsi f yang terdefinisi pada [a,b]

i. Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di \[c \in [a,b]\] bila \[f(c) \ge f(x)\] untuk setiap \[x \in [a,b]\].

ii. Fungsi f dikatakan mencapai minimum mutlak di \[c \in [a,b]\] bila  \[f(c) \le f(x)\]  untuk setiap \[x \in [a,b]\].

Definisi 1.2

Diberikan fungsi f yang terdefinisi pada [a,b]

i. Fungsi f dikatakan mencapai maksimum lokal di \[u \in [a,b]\] bila terdapat \[(c,d) \subset [a,b]\], sehingga untuk  \[u \in [a,b],f(u) \ge f(x),\forall x \in (c,d)\].

ii. Fungsi f dikatakan mencapai minimum lokal di \[u \in [a,b]\] bila terdapat \[(c,d) \subset [a,b]\], sehingga untuk \[u \in [a,b],f(u) \le f(x),\forall x \in (c,d)\].

Ilustrasi untuk Definisi 1.1 dan Definisi 1.2 dengan menggunakan gambar berikut.

Gambar 1

Teorema 1.1

Misalkan f kontinu pada suatu interval terbuka yang memuat c. Jika f terdifferensialkan di c, dan (c,f(c)) titik ektrim, maka f'(c)=0 atau f'(c) tidak ada.

Nah, titik c yang menyebabkan f'(c)=0 atau f'(c) tidak ada disebut dengan titik kritis. Penjelasan di atas sangat bermanfaat untuk memahami bahwa jika fungsi f terdefinisi pada [1,b], maka nilai maksimum atau minimum dari f dapat ditentukan sebagai berikut.

1. Tentukan titik kritisnya, misalkan di x=c.

2.  Tentukan nilai-nilai dari f(a), f(b), dan f(c). Nilai terbesar dari ketiganya adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum.

Teorema 1.2 (Teorema Rolle)

Misalkan fungsi f kontinu pada [a,b] dan terdifferensialkan pada (a,b), serta f(a)=f(b), maka terdapat \[c \in (a,b)\] sehingga f'(c)=0.

Teorema 1.3 (Teorema Nilai Rata-rata)

Misalakn fungsi f kontinu pada [a,b] dan terdifferensialkan pada (a,b), maka terdapat \[c \in (a,b)\] sehingga \[f'(c) = \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}\]

2. Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Definisi 2.1 

Misalkan fungsi f yang terdefinisi pada interval I, maka 

i. Fungsi f dikatakan naik pada I, jika u<v, maka berlaku \[f(u) < f(v),\forall u,v \in I\]

ii. Fungsi f dikatakan turun pada I, jika u<v, maka berlaku \[f(u) > f(v),\forall u,v \in I\]

Teorema 2.1 (Uji Turunan Pertama untuk Kemonotonan Fungsi)

Misalkan f yang terdefinisi pada interval I dan  terdifferensialkan pada setiap titik dalam interval I.

i. Jika berlaku \[f'(x) > 0,\forall x \in I\] , maka f monoton naik pada I.

ii. Jika berlaku \[f'(x) < 0,\forall x \in I\] , maka f monoton turun pada I.

Teorema 2.2 (Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal)

Misalkan f fungsi kontinu pada interval terbuka yang memuat titik c. Jika terdapat suatu \[\delta  > 0\] sehingga :

i. Jika \[f'(x) > 0,\forall x \in (c - \delta ,c)\] dan \[f'(x) < 0,\forall x \in (c,c + \delta )\] , maka f mencapai maksimum lokal di c.

ii. Jika \[f'(x) < 0,\forall x \in (c - \delta ,c)\] dan \[f'(x) > 0,\forall x \in (c,c + \delta )\] , maka f mencapai minimum lokal di c.

Teorema 2.3 (Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal)

Misalkan f fungsi yang terdifferensialkan sampai dengan turunan kedua pada suatu interval buka yang memuat c dan (c,f(c)) titik ekstrem.

i. Jika f''(c)>0, maka f mencapai minimum lokal di c.

ii. Jika f''(c)<0, maka f mencapai maksimum lokal di c.

iii. Jika f''(c)=0, maka uji gagal (tidak ada keputusan). 

3. Titik Belok Fungsi

Definisi 3.1 Misalkan f fungsi yang kontinu pad suatu interval yang memuat c. Fungsi f dikatakan mencapai titik belok di c apabila terdapat perubahan kecekungan pada grafik fungsi di sekitar c.

Sebagai, ilustrasi dapat dilihat sketsa fungsi berikut.

                                 Gambar 2

Nah, pada Gambar 2 merupakan sketsa dari fungsi \[f = {x^3}\],  titik belok dapat diamati terjadi pada x=0, karena saat x<0 dan x>0 terjadi perubahan kecekungan.

Teorema 3.2 

Misalkan f terdifferensialkan pada suatu interval yang memuat c. Jika fungsi f mencapai titik belok di c dan f"(c) ada, maka f"(c)=0. 

Perhatikan pernyataan pada Teorema 3.2 dapat diartikan bahwa :

1. Jika f mencapai titik belok di x=c , maka tentu f"(c)=0.

2. Tetapi kebalikan dari teorema di atas tidak selalu benar, artinya jika f"(c)=0 tidak selalu c merupakan titik belok.

(Silakan dibuktikan untuk \[f = {x^3}\] di saat x=0 merupakan titik belok, apakah betul f"(c)=0 ?)

Secara umum, teorema dan definisi di atas dapat menyusun algoritma penyelesaian berikut.

Jika ada pertanyaan, dapat ditulis pada kolom komentar.

Semoga bermanfaat.

TURUNAN

Jikalau ada suatu fungsi, katakanlah \[f(x) = {x^2}\] , maka Anda dapat dengan mudah mengatakan bahwa turunan dari fungsi tersebut adalah \[f'(x) = 2x\] .

Nah, apa sebenarnya "turunan" ini? Jangan sampai kita bisa menghitungnya, tetapi tidak tahu apa yang sedang dihitung.

Petunjuk yang bisa digunakan adalah kita sering menggunakan turunan untuk menghitung laju atau kecepatan.  Coba perhatikan dengan sesama definisi dari turunan sebagai berikut.

1. Definisi Turunan

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval buka yang memuat c. Turunan fungsu f di titik c, ditulis dengan f', didefinisikan sebagai 

\(f'(c) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {c^{}}} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}}\)

atau, dengan memisalkan bahwa x-c=h, dapat ditulis kembali menjadi 

\(f'(c) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(c + h) - f(c)}}{h}\)

nilai turunan pada ruas kiri dijamin ada, jika nilai limit pada ruas kanan pun ada.

Perhatikan definisi di atas, bahwa 

Lingkaran warna biru, menunjukkan perubahan nilai pada variabel bebas (x) yang mendekati nol (perubahan yang sangat kecil).

Lingkaran warna merah, menunjukkan perubahan nilai pada variabel tak bebas (f(x)).

Lingkaran warna hijau, dibagi dengan selisih x dan c.

Dengan demikian, tujuan kita menghitung turunan adalah mencari berapa perubahan variabel tak bebas, saat variabel bebasnya berubah, dimana perubahan variabel bebas dibuat sekecil mungkin hingga mendekati nol.

2. Turunan Kiri dan Turunan Kanan

Suatu fungsi dikatakan terdifferensial / differensiabel di titik x=c, jika dan hanya jika, 

\[f{'_ - }(c) = f{'_ + }(c)\]

 (artinya turunan kanan sama dengan turunan kiri).

Dengan keterangan bahwa :

\[f{'_ - }(c) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ - }} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}} = f{'_ + }(c) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {c^ + }} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}}\]

Apakah setiap fungsi selalu memiliki turunan ? Jawabannya, belum tentu.

Kapan suatu fungsi dikatakan tidak memiliki turunan ?

1.  Bila suatu fungsi mempunyai patahan atau suatu sudut dititik tertenty, maka fungsi itu tidak terdifferensialkan di titik tersebut. Contoh \[f(x) = \left| x \right|\] tidak terdifferensialkan di x=0, karena dapat dilihat pada grafik terjadi patahan di x=0.
2.  Bila suatu fungsi memiliki titik diskontinu di x=a, maka fungsi tersebut tidak terdifferensialkan di titik tersebut (x=a).
3. Bila suatu fungsi memiliki garis singgung tegak, atau gradien garis singgungnya tak hingga yaitu \[f'(a) = \infty \] , maka fungsi tersebut tidak terdifferensialkan di x=a.

Contoh :

Suatu fungsi \[f(x) = \left| {x - 4} \right|,x \in \Re \] , apakah memiliki turunan di x=4 ?

Penyelesaian :

Karena berupa fungsi nilai mutlak, maka perlu mendefinisikan fungsi terlebih dahulu, yaitu :

\[\left| {x - 4} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 4}&{,x \ge 4}\\{ - (x - 4)}&{,x < 4}\end{array}} \right.\]

Sehingga, kita membutuhkan bantuan dari definisi turunan kanan dan turunan kiri dari fungsi tersebut.

Turunan Kiri

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{ - (x - 4) - 0}}{{x - 4}} =  - 1\]

Turunan Kanan

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{(x - 4) - 0}}{{x - 4}} = 1\]

Karena \[f{'_ - }(4) \ne f{'_ + }(4)\] , maka f'(4) tidak ada. Dkl, f(x) tidak terdfifferensialkan di x=4.

Ilustrasi

Perhatikan gambar tersebut, terjadi patahan di x=4, ini merupakan salah satu ciri dari tidak terdifferensialkan pada titik x=4.

Sudah faham?

Coba silakan di cek untuk fungsi \[f(x) = \left| {2x - 1} \right|,x \in \Re \] , apakah memiliki turunan di x=1/2 ?

Silakan sertakan jawaban tersebut pada kolom komentar, serta jika ada pertanyaan bisa dituliskan pada kolom komentar.

Semoga bermanfaat.